FIS01219 - Introdução a sistemas dinâmicos

Disciplina do Curso de Graduação em Física

Carga: 4h

Semestre: 2012/2

Pré-requisitos: FIS01203 e FIS01205

Súmula

Sistemas autônomos de $1^a$ e $2^a$ ordens; transformações lineares do plano; preservação da área; aplicações uni e multidimensionais; bifurcações, ciclos limites e caos; fractais, atratores estranhos; conjuntos não-atratores estranhos; sincronização; controle; formação de padrões; séries temporais.

Objetivos

Familiarizar o aluno com os fundamentos de sistemas dinâmicos, com as ferramentas de análise de sistemas dinâmicos e com a linguagem utilizada na área.

Programa:

1. Classificação dos sistemas dinâmicos
2. Sistemas a tempo contínuo, sistemas autônomos e não-autônomos, sistemas conservativos, dissipativos, noções de estabilidade. Solução geral para sistemas lineares.
3. Sistemas não-lineares de tempo contínuo. Equivalência Topológica. Teoremas locais para sistemas não-lineares. Teoria da variedade central, formas normais.
4. Oscilações lineares e não-lineares. Ciclo limite.
5. Bifurcações em sistemas de tempo contínuo. Estabilidade estrutural. Bifurcações em codimensão um. Bifurcações homoclínica e heteroclínica.
6. Caracterização da dinâmica caótica. Atratores, expoente de Lyapunov, esticamentos e dobras, entropia de Shanon, dimensões de um atrator.
7. Sincronização. Sincronização de oscilador por força externa. Sincronização de dois ou mais osciladores. Sincronização de sistemas caóticos.

Método de Trabalho

Aulas expositivas, experiências numéricas em laboratório computacional.

Avaliação

- 2 avaliações e um seminário$^*$ (conforme tópicos abaixo).
* - Presença e participação nos seminários (dos colegas) conta 3 pontos na nota do seminário.

Tópicos para Seminário

1. Sistemas não-lineares a tempo discreto e mapa logístico ;
2. Pêndulo simples e sistemas equivalentes ;
3. Seção de Poincaré e mapa de Poincaré ;
4. Entropia de Shanon ;
5. Dimensões de um atrator ;
6. Reconstrução de Takens ;
7. Modelo de Lotka-Volterra ;
8. Modelo SIR ;
9. Osciladores de fase acoplados: quasiperiodicidade e travamento ;
10. Sincronização ;
11. Mapa circular, escada do diabo e línguas de Arnold ;
12. Modelos de neurônios ;
13. Reações químicas: Michaelis-Menten, Belousov-Zhabotinsky e o ``brusselator'' ;
14. Controle de caos ;

Bibliografia

1. Sistemas Dinâmicos, Luiz Henrique Alves, Ed. Livraria da Física, 2002.
2. Dissipative Structures and weak turbulence, Paul Manneville, Academic Press, 1990.
3. Synchronization, A. Pikovsky, M. Rosenblum e Jürgen Kurths, Cambridge Nonlinear Science Series 12, 2003.
4. Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory, David Ruelle, 1989. Academic Press. ISBN 0-12-601710-7
5. Chaos. An introduction to dynamical systems, Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer and James A. Yorke, Springer Verlag, 2000. ISBN 0-387-94677-2
6. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Steven H Strogatz, Addison Wesley, 1994. ISBN 0-201-54344-3
7. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Morris W. Hirsch, Stephen Smale, Academic Press, 2003. ISBN 0-12-349703-5