Exercícios Fokker-Planck
Porto Alegre, 28 de novembro de 2013
Exercício 1 - Uma partícula de massa m cai com velocidade inicial nula de uma altura em um campo gravitacional sofrendo a ação simultânea de uma força viscosa de intensidade
e de um ruído estocástico dependente da altura .
A equação de Langevin associada ao problema é dada por:
na aproximação de
Stokes, tomando-se esta equação pode ser
simplificada para forma:
|
(1) |
- No caso em que B(z) é uma constante o ruído é aditivo e este problema é integrável. Supondo , e , encontre a solução para um tempo qualquer .
- Escreva um programa que integre numericamente a equação 1 e anexe ao seu relatório.
- Faça um gráfico comparando a solução numérica do item 2 e a solução exata.
Suponha agora que o ruído depende da altura segundo a expressão:
- Usando o cálculo de Ito, faça um programa que integre
numericamente o problema e que forneça na saída a altura da partícula como função do tempo. Use
e
.
- Nesse mesmo programa determine a altura da partícula como função do tempo
no caso em que seja constante e tenha o valor a meia altura . Anexe esse programa a seu relatório.
- Faça um gráfico comparando as trajetórias nos casos dos ítens 4 e 5 e anexe ao seu relatório.
Exercício 2 - Escreva a equação de Fokker-Planck relativa ao problema completo da primeira questão:
Exercício 3 - Integre numericamente a equação de
Fokker-Planck do exercicio 2. Use como condição inicial nula para a
velocidade e uma delta de Dirac para a posição.
Leon
2014-12-04