Exercícios Fokker-Planck

Porto Alegre, 28 de novembro de 2013

Exercício 1 - Uma partícula de massa m cai com velocidade inicial nula de uma altura $z_0$ em um campo gravitacional $g$ sofrendo a ação simultânea de uma força viscosa de intensidade $\gamma \dot{z}$ e de um ruído estocástico dependente da altura $B(z)\xi(t)$. A equação de Langevin associada ao problema é dada por:

$$m\ddot{z}=g-\gamma \dot{z} + B(z) \xi(t)\;\;,$$

na aproximação de Stokes, tomando-se $m=1$ esta equação pode ser simplificada para forma:

$$\dot{z}=\frac{g}{\gamma}+\frac{B(z)}{\gamma}\xi(t)\;\;.$$ (1)

1. No caso em que B(z) é uma constante o ruído é aditivo e este problema é integrável. Supondo $z_0=100m$, $g=-10m/s^2$ e $B=5Ns/m$, encontre a solução para um tempo qualquer $t$.
2. Escreva um programa que integre numericamente a equação 1 e anexe ao seu relatório.
3. Faça um gráfico comparando a solução numérica do item 2 e a solução exata.

   
   

   Suponha agora que o ruído depende da altura $z$ segundo a expressão:
   

   $$B(z)=\frac{dB}{dz}(z_0-z)$$
   
   

4. Usando o cálculo de Ito, faça um programa que integre numericamente o problema e que forneça na saída a altura da partícula como função do tempo. Use $\frac{dB}{dz}=0.1$ e $\frac{dB}{dz}=0.5$.
5. Nesse mesmo programa determine a altura da partícula como função do tempo no caso em que $B$ seja constante e tenha o valor a meia altura $B=B(z_0/2)$. Anexe esse programa a seu relatório.
6. Faça um gráfico comparando as trajetórias nos casos dos ítens 4 e 5 e anexe ao seu relatório.

Exercício 2 - Escreva a equação de Fokker-Planck relativa ao problema completo da primeira questão:

$$m\ddot{z}=g+\gamma \dot{z} + B(z) \xi(t)\;\;,$$

Exercício 3 - Integre numericamente a equação de Fokker-Planck do exercicio 2. Use como condição inicial nula para a velocidade e uma delta de Dirac para a posição.