Lista de Exercícios - Mapas e Autômatos Celulares
Porto Alegre, abril de 2021
1 - A aplicação logística pode ser colocada em uma forma conhecida
como ``forma normal'',
Neste caso, o máximo da função é fixo
mas o intervalo onde a aplicação não diverge torna-se variável. A
figura abaixo ilustra duas iterações, a primeira, dentro de intervalo
de convergência, a segunda, fora.
Observe que a estabilidade desses pontos determina o intervalo de
convergência da aplicação bem como a dinâmica de sucessivas iterações.
- Encontre os pontos fixos e , como função do parâmetro
.
- Determine o intervalo de valores de para o qual o ponto fixo
é estável.
- Determine o intervalo de valores de para que a aplicação
se mantenha bem definida.
2 - Faça um programa que calcule a evolução da aplicação
definida na questão anterior.
- Faça um gráfico de primeiro retorno mostrando os pontos fixos
de ordem 2,4 e 8 sem os pontos transitórios. Indique os valores
do parâmetro em cada caso.
- Faça um gráfico que mostre o diagrama de bifurcações
dentro do intervalo de convergência da aplicação. Divida o
intervalo do parâmetro de bifurcações em pelo menos 1000
partes.
- Faça gráficos de recorrência usando dois valores de parâmetro , um
na região de período 16 e outro na região caótica. Interprete os resultados.
3 - A aplicação bidimensional abaixo é conhecida como mapa de Hénon:
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(1) |
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(2) |
- Encontre os pontos fixos para a aplicação
- Trace os pontos sucessivos em um gráfico X x Y para os valores de (a,b): (0.2,0.9991), (0.2,-0.999), (1.4,0.3)
- Mostre a natureza fractal do mapa para o último conjunto de parâmetros.
4 - Seja um autômato celular (AC) binário bidimensional com interação entre
os primeiros vizinhos, ou seja, cada célula interage com seus vizinhos inferior
e superior, da esquerda e da direita, mas não com os vizinhos das diagonais.
- Determine o número de possíveis combinações para a vizinhança.
- Determine o número de possíveis regras para este AC.
- Faça um programa para a evolução deste AC usando uma regra
qualquer como entrada. Parta de condições iniciais aleatórias.
- Representando as células com valor 1 por * e as células com valor nulo por
espaços, mostre na tela de seu computador os sucessivos estados pelos
quais passa o AC.
Leonardo Gregory Brunnet
2017-05-30