Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Física - Departamento de Física
FIS01206 - UNIDADE I - Lista de Problemas


1.No problema do decaimento radioativo,

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -\,\alpha\, x \; ; \; x(0)\,=\,x_0\,\,,
$

determine o limite superior do passo de tempo $ \Delta t$ para o qual o método de Euler converge para uma solução assintótica nula.


2.No problema do decaimento radioativo,

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -\,\alpha\, x \; ; \; x(0)\,=\,x_0\,\,,
$

determine o limite superior do passo de tempo $ \Delta t$ para o qual o método do Ponto Médio (Runge-Kutta em segunda ordem) converge para uma solução assintótica nula.


3.No problema do decaimento radioativo,

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -\,\alpha\, x \; ; \; x(0)\,=\,x_0\,\,,
$

determine o limite superior do passo de tempo $ \Delta t$ para o qual o método de Heun converge para uma solução assintótica nula.

O método de Heun usa a média entre as derivadas no início e final do intervalo $ \Delta t$:

    $\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+\Delta t\times$ (1)
    $\displaystyle \{f(t,x(t))+f[t+\Delta t, x(t)+\Delta t f(t,x(t))]\}/2.$ (2)


4.No problema do decaimento radioativo,

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -\,\alpha\, x \; ; \; x(0)\,=\,x_0\,\,,
$

determine o limite superior do passo de tempo $ \Delta t$ para o qual o método de Ralston converge para uma solução assintótica nula.

O método de Ralston usa uma média ponderada entre as derivadas no início e final do intervalo $ \Delta t$:

    $\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+\Delta t \{f(t,x(t))+$ (3)
    $\displaystyle 2f[t+\frac{3}{4}\Delta t, x(t)+\frac{3}{4}\Delta t f(t,x(t))]\}/3.$ (4)


5.Mostre que o método de Runge Kutta 4 descrito por

$\displaystyle K_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle hf(t,x_{n})$  
$\displaystyle K_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle hf(t+\frac{h}{2},x_{n}+\frac{K_{1}}{2})$  
$\displaystyle K_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle hf(t+\frac{h}{2},x_{n}+\frac{K_{2}}{2})$  
$\displaystyle K_{4}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle hf(t+h,x_{n}+K_{3})$  
$\displaystyle x_{n+1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{n} + \frac{1}{6}(K_{1}+2K_{2}+2K_{3}+K_{4})$  

Quando aplicado a uma equação diferencial $ \frac{dx}{dt}=\lambda x_{n}$ ,pode ser reescrita como:

$\displaystyle x_{n+1}=(1+h\lambda+\frac{1}{2}(h\lambda)^{2} + \frac{1}{6}(h\lambda)^{3} + \frac{1}{24}(h\lambda)^{4})x_{n}$    

de modo a demonstrar o método como expansão da série de taylor até a ordem de erro $ \mathcal{O}(h^{4})$.

6.Usando o método de Adams-Bashforth

$\displaystyle x_{n+1} = x_{n} + \frac{3}{2}\, \Delta t \, f(x_{n}) \,-\, \frac{1}{2}\, \Delta t \, f(x_{n-1})
$

e Adams-Moulton

$\displaystyle x_{n+1} = x_{n} + \frac{1}{2}\, \Delta t \, f(x_{n+1}) \,+\, \frac{1}{2}\, \Delta t \, f(x_{n})
$

a)
Escreva um algoritmo do tipo predição-correção para o problema do sistema abaixo

$\displaystyle \frac{d^2 x}{d t^2} = - k\,x .
$

b)
Na linguagem que lhe for familiar, escreva o programa correspondente.

c)
Com base na solução analítica, faça uma estimativa para um valor inicial de $ \Delta t$. Justifique a sua resposta.

7.Dada a tabela de Butcher,


0 0 0 0
1/2 1/2 0 0
1 -1 2 0
  1/6 2/3 1/6


escreva o algoritmo Runge-Kuta correspondente.

8.Descreva um algoritmo para encontrar numericamente a ordem do erro global de um método de integração numérico qualquer. Explique como deve ser feito o ajuste para que se encontre a lei de potência associada.

9.Na aproximação de ângulos pequenos, a energia total de um pêndulo simples é

$\displaystyle E = \frac{1}{2} m L^2 \omega^2 + \frac{1}{2} m g L \theta^2 \;.
$

Mostre analiticamente que $ E$ aumenta monotonicamente com o tempo quando o método de Euler é utilizado na integração numérica.

O que acontece quando utilizamos o método de Euler-Cromer?

10.Prove que para o problema de Kepler o método de Euler-Cromer conserva momentum angular de forma exata.

O que ocorre quando se utiliza o método de Euler?




Leonardo Gregory Brunnet 2018-09-06