\documentclass[a4,12pt]{report}
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\begin{document}
\begin{enumerate}

\item Trace as trajetórias de fase para o pêndulo simples com e sem
atrito, trace a forma das bacias de atração no caso dissipativo.

\item Faça o cálculo da estabilidade linear das soluções $\theta = n
\pi $ ( $n$ inteiro) para pêndulo simples com atrito. Ou seja, para o
sistema 
$$ \frac {d\theta} {dt} = p_{\theta} $$
$$ \frac {d p_{\theta}} {dt}= - p_{\theta} - sen (\theta) $$

 expanda $sen (\theta) $  em torno de $
n \pi$ até primeira ordem, proponha soluções do tipo $$ \theta = A
e^{-\lambda t} $$ e determine quais as soluções estáveis. 

Desenhe as trajetórias de fase na vizinhaça destes pontos.

\item Mostre que para um sistema dinâmico $$ \frac {d \vec x} {dt} =
\vec F $$ a conservação  volume no espaço de fases está
diretamente relacionada a $$ \nabla . \vec F = 0 . $$

\item Determine o sistema dinâmico que representa o escoamento gerado
por um pêndulo com atrito proporcional à velocidade ($-\gamma v$) e
com excitação externa oscilando com freqüência angular
$\omega_E$ (pêndulo paramétrico). Encontre o divergente deste escoamento.


\item Partindo da equação de Van der Pol 
$$ \frac {d^2 \theta} {dt^2}
-\gamma (1- \frac{\theta^2}{\theta_0^2}) \frac {d \theta}{dt}
+\omega^2 \theta = 0, $$
 substitua $t' = t \omega $ e $\theta' =
\sqrt{\frac{\gamma}{\omega}}\frac {\theta}{\theta_0}$, de forma a
obter a equação na sua forma adimensionalizada.

\item Determine o sistema dinâmico que representa o escoamento gerado
pela equação de Van der Pol em sua forma adimensionalizada. Encontre o
divergente deste escoamento. Existe valor de $\theta$ e $p_{\theta}$ em
que se conserva o volume no espaço de fases? A solução assintótica
ocorre para estes valores?

\item Integre numericamente a equação para o oscilador de Van der Pol
(OVP), obtenha e compare as trajetórias de fase para $\epsilon=0.01$ e
$\epsilon=4.$

\item Integre numericamente o OVP e obtenha o diagrama de bifurcações
 em torno de $\epsilon=0$. Que tipo de bifurcação ocorre neste caso?


\item Usando o fato que a variação média de energia em um tempo longo
é nula sobre o ciclo limite do OVP e que para $\epsilon \to 0$ pode-se
aproximar $\theta(t) \sim \rho~ sen(t)$. Mostre que o raio do ciclo
limite do OVP é dado por $\rho \sim 2 \sqrt{\epsilon}$.

\item A equação para um pêndulo paramétrico na aproximação linear,
$$ \frac {d^2 \theta} {dt^2} +\omega^2 (1 - h~cos (2\omega t)
)~\theta~=~0, $$ conhecida como eq. de Mathieu, reduz-se à equação de
um oscilador linear quando $h \to 0$.  Na proximidade deste limite
pode-se propor $$ \theta(t) = e^{\mu t} cos ( \omega t +\phi )$$ como
solução.  Substituindo-se esta solução na equação e desprezando-se os
harmônicos de ordem superior (i.e. os termos em $ cos(3\omega t))$,
para que a solução seja válida em qualquer tempo chega-se a um
sistema de equações lineares homogêneas (em $ sen(\phi), cos(\phi)$)
cujo determinante deve ser nulo. Isto gera uma equação algébrica de
segunda ordem em $\mu^2$. A condição para que a solução acima seja
estável é que $\mid\mu\mid  < 1 $. Mostre que o sistema é instável para
$$ h > \mid 1 - \frac {\omega^2}{\omega_0^2}\mid.$$

Faça um gráfico de $h \times \omega / \omega_0 $. 

Refaça o problema para o caso em que se coloca um termo dissipativo na
equação de Mathieu 
$$ \frac {d^2 \theta} {dt^2} -\gamma~\frac{d\theta}{dt}+\omega^2 (1 - h~cos (2\omega t)
)~\theta~=~0, $$ 
e mostre que neste caso a condição de instabilidade reduz-se a 
$$ \frac{h^2}4 >  (1 - \frac {\omega^2}{\omega_0^2})^2 + \frac
{\omega^2}{\omega_0^2} \gamma^2 .$$

Faça um gráfico de $h \times \omega / \omega_0 $ para este caso.

\item Suponha um oscilador harmônico simples (OHS) periodicamente excitado
por uma força descrita por uma função $\delta$:
$$ \frac {d^2 \theta} {dt^2} + \theta - P \delta(cos
\frac{2\pi}{\tau}) ~=~ 0 $$

Verifique que o efeito da aplicação desta excitação é o de produzir
uma variação $P$ no momentum do OHS e nenhuma mudança na posição.
Imediatamente após a aplicação da excitação a equação que rege a
dinâmica do sistema é a do (OHS). 
Escreva a aplicação que leva a posição e a velocidade imediatamente
após duas aplicações sucessivas da excitação.
\end{enumerate}
\end{document}









