Lista Área 2 - Processos Estocásticos
Porto Alegre, 5 de dezembro de 2017

1 - A solução genérica para a equação de Langevin

$$\frac{dv}{dt}=-\gamma v +\zeta(t)\;;\langle\zeta(t)\rangle=0\;;\langle\zeta(t)\zeta(t')\rangle=\Gamma\delta(t-t')$$

pode ser obtida usando-se $v(t)=u(t)e^{-\gamma t}$.

• Substitua para obter uma equação para $u(t)$.
• Integre formalmente a equação para $u(t)$.
• Obtenha o valor médio para a velocidade.
• Obtenha o valor para o desvio quadrático médio da velocidade.
• Encontre o valor estacionário para esse desvio, calcule a energia cinética média e use o princípio equipartição de energia para encontrar a relação:
  $$\Gamma=\frac{2k_BT\gamma}{m}$$

2 - O deslocamento quadrático médio pode ser obtido integrando-se a velocidade;

$$x=x_o + \int_0^tv(t')dt'$$

e usando-se a solução anterior para a velocidade;

$$x=x_o + v_o\int_0^t e^{-\gamma t'}dt'+\int_0^t e^{-\gamma t'}dt\int_0^{t''} \zeta(t'') e^{\gamma t''}dt''\;.$$

• Pode-se eliminar uma das integrais invertendo a ordem de integração (claro que, adequando os limites de integração) e encontrar uma expressão,
  $$x=x_o + \frac{v_o}{\gamma}(1-e^{-\gamma t})+\frac{1}{\gamma}\int_0^t (1-e^{-\gamma (t''-t)})\zeta(t'')dt''\;.$$

• Encontre o valor médio de $x$.
• Encontre o desvio quadrático médio de $x$.
• Use as relações do exercício 1 para obter a relação de Einstein-Smoluchowski.
  $$D=\frac{2k_bT}{\alpha}\;,$$
  onde, $D=\frac{\Gamma}{\gamma^2}=\frac{B}{\alpha^2}$; $B=\frac{\Gamma}{m}$
• Finalmente, use a lei de Stokes $\alpha=6\pi\mu a$, onde $\mu$ é a viscosidade do líquido e $a$ é o raio da partícula, para obter a relação: $D=\frac{k_BT}{3\pi\mu a}$.

3 - Distribuição de probabilidades da velocidade. Partindo da versão discretizada da equação de Langevin para a velocidade

$$v_1 = v_0 -\alpha v_0 \tau + \sqrt{\tau \Gamma} \xi_0\;\;;\langle\xi_i\rangle=0\;\;;\langle\xi_i^2\rangle=1$$

(porque agora $\langle \xi^2\rangle$ não é mais uma delta de Dirac?)

• Encontre a relação entre a velocidade após n passos $\tau$ e a velocidade inicial.
• Use esse resultado para relacionar a equação característica para a velocidade após n passos com a equação para um passo.
• Use a expansão em cumulantes para mostrar que a função característica é uma gaussiana e encontre a distribuição de probabilidades da velocidade usando a transformada inversa.
• Mostre que no limite $\tau \to 0$ e $n \to \infty$ com $n\tau \to t$ encontra-se a distribuição de Maxwell no limite estacionário ( $t \to \infty$).

4 - Mostre que no limite de massa desprezível a equação de Langevin na forma discreta pode ser escrita como

$$x_{i+1}=x_n+\tau f_n + \sqrt{\tau \Gamma}\xi_n\;\;.$$

5 - Use a forma encontrada no exercício anterior para escrever a equação de evolução de $\langle x \rangle$, $\langle x^2 \rangle$ e $\langle x^l \rangle$.

6 - Resolva a equação diferencial para a evolução de $\langle x^2 \rangle$ no caso de uma força restauradora: $f(x)=-\gamma x$.

7 - Equação de Fokker-Planck (EFP).

• Partindo da equação de Langevin no limite de massa desprezível, relacione a função característica associada à $x_{n+1}$ com a função característica associada à $x_{n}$.
• Expanda as exponenciais até ordem $\tau$ para obter
  $$g_{n+1}(k)=g_n(k)+i\tau \langle k f(x_n) e^{i k x_n} \rangle - \frac{k^2}{2}\tau \Gamma \langle e^{ikx_n}\rangle$$

• Mostre que essa equação pode ser reescrita na forma
  $$\begin{aligned} \int e^{ikx_{n+1}}P(x_{n+1}) dx &= \int e^{ikx} ... ... \tau \frac{\Gamma}{2} \int e^{ikx_n} \frac{d^2}{dx^2} P(x_n) dx \end{aligned}$$

• Para encontrar a EFP faça a transformada inversa da equação obtida acima e tome o limite para $\tau \to 0$.

8 - Sob o ponto de vista da continuidade espaço-temporal da probabilidade, pode-se definir uma corrente de probabilidade $J(x,t)$ na EFP,

$$\frac{\partial}{\partial t} P(x,t) =- \frac{\partial}{\partial x} J(x,t)\;,$$

onde,

$$J(x,t)=f(x)P(x,t) - \frac{\Gamma}{2} \frac{\partial}{\partial x} P(x,t) \;.$$

• Mostre que o fluxo de corrente nos limites $[a,b]$ do sistema deve ser idêntico para que a probabilidade fique corretamente normalizada.
• No caso de condições refletoras $J(a)=J(b)=0$ e no regime estacionário encontre a relação
  $$\frac{d}{dx} ln P(x) = \frac{2}{\Gamma} f(x)$$
  .
• Para o caso de uma força conservativa derivada de um potencial $U(x)$, mostre que
  $$P(x)=A e^{-\frac{U(x)}{k_BT}}$$
  .
• Encontre a distribuição de probabilidades para o caso do potencial gravitacional próximo à superfície terrestre $U=mgx$. Encontre o valor de $A$ que normaliza corretamente a distribuição.

9 - Operador evolução: A EFP pode ser escrita na forma

$$\frac{\partial}{\partial t}P(x,t)={\cal{W}} P(x,t)\;,$$

sendo ${\cal W}$ independente do tempo e tal que,

$${\cal{W}}\phi(x)=-\frac{\partial}{\partial x}[f(x)\phi(x)] + \frac{\Gamma}{2} \frac{\partial^2}{\partial^2 x}\phi(x)$$

.

1. Mostre que
   $$\int_a^b {\cal W}\phi(x) dx = 0$$

2. Por que pode-se usar
   $${\cal W} P(x)=0$$
   no caso estacionário? Note que isso também mostra que o autovalor nulo está associado à solução assintótica.
3. Mostre que, formalmente, pode-se escrever a solução para a evolução da probabilidade como
   $$P(x,t) = e^{t{\cal W}} P(x,0)\;.$$

4. Supondo que ${\cal W}$ tenha um espectro discreto,
   $${\cal W}\phi_l(x)= \Lambda_l \phi_l(x)\;,$$
   onde $\phi_l(x)$ e $\Lambda_l$ são, respectivamente, autofunções e autovalores de ${\cal W}$, pode-se escrever uma solução geral para a evolução de $P(x,t)$,
   $$P(x,t)=\sum_{l=0}^{\infty} a_l e^{t\Lambda_l} \phi_l(x)\;.$$
   Use os resultados dos ítens 1 e 2 desta questão para mostrar que a solução geral pode ser reescrita na forma
   $$P(x,t)=P(x)+\sum_{l=1}^{\infty} a_l e^{t\Lambda_l} \phi_l(x)\;.$$
   ou seja, que $a_1=1$ e $P(x)$ é a solução estacionária.

10 - Usando a definição de operador adjunto

$$\int \phi {\cal W}^\dagger \chi^* dx = \int \chi^* {\cal W} \phi dx$$

para quaisquer $\phi(x)$, $\chi(x)$ tais que $\int {\cal W} \phi(x)dx=0$, mostre que o operador ${\cal W}$ não é hermitiano pois ${\cal W}^\dagger$ assume a forma

$${\cal W}^\dagger =f(x)\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\Gamma}{2} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\;,$$

que é diferente de ${\cal W}$.

11 - Mostre que os autovalores de ${\cal W}^\dagger$ são os mesmos de ${\cal W}$ e as autofunções $\phi_l(x)$ e $\chi_l(x)$ estão relacionadas por $\phi_l(x)=P(x) \chi_l(x)$.

12 - Operador hermitiano. Define-se

$${\cal K}\phi(x)=[\psi_0(x)]^{-1} {\cal W} [\psi_0\phi(x)]\;,$$

onde $\psi_0(x)=\sqrt{P(x)}$.

• Mostre que os autovalores de ${\cal K}$ são os mesmos de ${\cal W}$.
• Mostre que $\frac{f}{\Gamma}=\frac{\partial}{\partial x} ln(\psi_0)$.
• Substituindo a forma explícita de ${\cal W}$ e usando a relação obtida acima, mostre que pode-se escrever
  $${\cal K}\psi=-\frac{1}{2}\{\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{\Gamma}f^2 \}\psi + \frac{\Gamma}{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\;.$$